$$
A_F(x)= xF_1+x^2F_2+x^3F_3\cdots
$$

$$
xA_F(x)= \; x^2F_1+x^3F_2+x^4F_3+\cdots
$$

(1)+(2)，且考虑到 $F_1=F_2$ ，有
$$
(1+x)A_F(x)=xF_2+x^2F_2+x^3F_3+\cdots
$$
所以
$$
x(1+x)A_F(x)=A_F(x)-xF_1
$$
即
$$
A_F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
$$
想要 $A_F(x)$ 是自然数，只需设
$$
\frac{x}{1-x-x^2}=n
$$
即
$$
nx^2+(n+1)x-n=0
$$
解此方程，得
$$
x=\frac{\sqrt{5n^2+2n+1}-(n+1)}{2n}
$$
只有 $5n^2+2n+1$ 是平方数时， $x$ 才可能是有理数。

尝试分析 $N=5n^2+2n+1$ 是平方数时， $n$ 的变化规律

| n          | increasing rate of n |
| ---------- | -------------------- |
| 2          |                      |
| 15         | 7.5                  |
| 104        | 6.933333333          |
| 714        | 6.865384615          |
| 4895       | 6.855742297          |
| 33552      | 6.854341164          |
| 229970     | 6.854136862          |
| 1576239    | 6.854107057          |
| 10803704   | 6.854102709          |
| 74049690   | 6.854102075          |
| 507544127  | 6.854101982          |
| 3478759200 | 6.854101969          |

显然 $n$ 的变化率收敛于 $6.8541\cdots$ 。通过搜索引擎可知 $\varphi^4=6.8541\cdots$ 其中 $\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。