根据137题有
$$
A_G(x)=\frac{x+3x^2}{1-x-x^2}
$$

所以
$$
(n+3)x^2+(n+1)x-n=0
$$
解此方程，得
$$
x=\frac{\sqrt{5n^2+14n+1}-(n+1)}{2(n+3)}
$$
只有 $5n^2+14n+1$ 是平方数时， $x$ 才会是有理数。

尝试分析 $N=5n^2+14n+1$ 是平方数时 $n$ 的变化规律

| N        | increasing rate of N |
| -------- | -------------------- |
| 2        |                      |
| 5        | 2.5                  |
| 21       | 4.2                  |
| 42       | 2.0                  |
| 152      | 3.619047619047619    |
| 296      | 1.9473684210526316   |
| 1050     | 3.5472972972972974   |
| 2037     | 1.94                 |
| 7205     | 3.5370643102601864   |
| 13970    | 1.9389312977099236   |
| 49392    | 3.535576234788833    |
| 95760    | 1.9387755102040816   |
| 338546   | 3.535359231411863    |
| 656357   | 1.9387527839643652   |
| 2320437  | 3.535327573256627    |
| 4498746  | 1.9387494683113569   |
| 15904520 | 3.535322954441082    |

观察发现 $1.9387\ldots*3.5353\ldots=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

进一步尝试
$$
5-2=3 \\
42-21=21 \\
296-152=144
$$

$$
21-5=16=2*8 \\
152-42=110=2*55 \\
1050-296=754=2*377
$$

$3,21,144,\ldots,8,55,377\ldots$ 它们都是 Fibonacci 数。