1.2 KiB
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A_F(x)= xF_1+x^2F_2+x^3F_3\cdots
xA_F(x)= \; x^2F_1+x^3F_2+x^4F_3+\cdots
(1)+(2)，且考虑到 F_1=F_2 ，有
(1+x)A_F(x)=xF_2+x^2F_2+x^3F_3+\cdots
所以
x(1+x)A_F(x)=A_F(x)-xF_1
即
A_F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
想要 A_F(x) 是自然数，只需设
\frac{x}{1-x-x^2}=n
即
nx^2+(n+1)x-n=0
解此方程，得
x=\frac{\sqrt{5n^2+2n+1}-(n+1)}{2n}
只有 5n^2+2n+1 是平方数时， x 才可能是有理数。
尝试分析 N=5n^2+2n+1 是平方数时， n 的变化规律
| n | increasing rate of n |
|---|---|
| 2 | |
| 15 | 7.5 |
| 104 | 6.933333333 |
| 714 | 6.865384615 |
| 4895 | 6.855742297 |
| 33552 | 6.854341164 |
| 229970 | 6.854136862 |
| 1576239 | 6.854107057 |
| 10803704 | 6.854102709 |
| 74049690 | 6.854102075 |
| 507544127 | 6.854101982 |
| 3478759200 | 6.854101969 |
显然 n 的变化率收敛于 6.8541\cdots 。通过搜索引擎可知 \varphi^4=6.8541\cdots 其中 \varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2} 。