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$$
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A_F(x)= xF_1+x^2F_2+x^3F_3\cdots
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xA_F(x)= \; x^2F_1+x^3F_2+x^4F_3+\cdots
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(1)+(2)，且考虑到 $F_1=F_2$ ，有
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(1+x)A_F(x)=xF_2+x^2F_2+x^3F_3+\cdots
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所以
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x(1+x)A_F(x)=A_F(x)-xF_1
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$$
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即
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A_F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
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想要 $A_F(x)$ 是自然数，只需设
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\frac{x}{1-x-x^2}=n
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即
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nx^2+(n+1)x-n=0
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$$
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解此方程，得
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x=\frac{\sqrt{5n^2+2n+1}-(n+1)}{2n}
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$$
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只有 $5n^2+2n+1$ 是平方数时， $x$ 才可能是有理数。
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尝试分析 $N=5n^2+2n+1$ 是平方数时， $n$ 的变化规律
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| n | increasing rate of n |
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| ---------- | -------------------- |
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| 2 | |
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| 15 | 7.5 |
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| 104 | 6.933333333 |
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| 714 | 6.865384615 |
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| 4895 | 6.855742297 |
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| 33552 | 6.854341164 |
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| 229970 | 6.854136862 |
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| 1576239 | 6.854107057 |
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| 10803704 | 6.854102709 |
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| 74049690 | 6.854102075 |
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| 507544127 | 6.854101982 |
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| 3478759200 | 6.854101969 |
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显然 $n$ 的变化率收敛于 $6.8541\cdots$ 。通过搜索引擎可知 $\varphi^4=6.8541\cdots$ 其中 $\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。 |