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n=qd+r
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显然 $r<d$ ，因此有以下三种可能
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q<r<d \Rightarrow r^2=qd \mbox{ (a)}\\
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r<q<d \Rightarrow q^2=rd \mbox{ (b)}\\
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r<d<q \Rightarrow d^2=rq \mbox{ (c)}
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对于 (2.a)， $n=r^2+r$ ，$n$ 不可能是平方数。
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无论 (2.b) 或 (2.c)，设等比数列公比为 $e$ ，则 (1) 可写为
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n=r^2e^3+r=k^2
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设 $e=\frac{u}{v}$ ，其中 $u, v$ 互素且 $u>v$ 。又由于 $e^2r$ 为整数，因此必有 $v^2|r$ ，不妨设 $r=tv^2$ ，由方程 (3) 可化为
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k^2=tv^2+t^2u^3v
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显然 $tv|k$ ，对 (4) 进一步转换，得
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\frac{k^2}{tv}=v+tu^3
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对 $\frac{k^2}{tv}$ 遍历 $k^2$ 的所有因子。 |