6.3 KiB
60 素数对的集合
3、7、109和673是非常特别的一组素数。任取其中的两个并且以任意顺序连接起来，其结果仍然是个素数。例如，选择7和109，我们得到7109和1097均为素数。这四个素数的和是792，这是满足这个性质的一组四个素数的最小和。 若有一组五个素数，任取其中的两个并且以任意顺序连接起来，其结果仍然是个素数，求这样一组素数的最小和。
62 立方数重排
立方数41063625（$345^3$）可以重排为另外两个立方数：56623104（$384^3$）和66430125（$405^3$）。实际上，41063625是重排中恰好有三个立方数的最小立方数。 求重排中恰好有五个立方数的最小立方数。
75 唯一的整数边直角三角形
只能唯一地弯折成整数边直角三角形的电线最短长度是12厘米；当然，还有很多长度的电线都只能唯一地弯折成整数边直角三角形，例如：
- 12厘米: (3,4,5)
- 24厘米: (6,8,10)
- 30厘米: (5,12,13)
- 36厘米: (9,12,15)
- 40厘米: (8,15,17)
- 48厘米: (12,16,20)
相反地，有些长度的电线，比如20厘米，不可能弯折成任何整数边直角三角形，而另一些长度则有多个解；例如，120厘米的电线可以弯折成三个不同的整数边直角三角形。 120厘米: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51) 记电线长度为L，对于L ≤ 1,500,000，有多少种取值只能唯一地弯折成整数边直角三角形？
78 硬币分拆
记p(n)是将n枚硬币分拆成堆的不同方式数。例如，五枚硬币有7种分拆成堆的不同方式，因此p(5)=7。
OOOOO OOOO O OOO OO OOO O O OO OO O OO O O O O O O O O
找出使p(n)能被一百万整除的最小n值。
96 数独
111 有重复数字的素数
考虑一个有重复数字的4位素数，显然这4个数字不能全都一样：1111被11整除，2222被22整除，依此类推；但是，有9个4位素数包含有三个一：
1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111
我们记M(n, d)是n位素数中数字d重复出现的最多次数，N(n, d)是这类素数的个数，而S(n, d)是这类素数的和。
因此M(4, 1) = 3是4位素数中数字1重复出现的最多次数，有N(4, 1) = 9个这类素数，而它们的和是S(4, 1) = 22275。还能得出，对于d = 0，在4位素数中最多重复出现M(4, 0) = 2次，但是有N(4, 0) = 13个这类素数。
同样地，我们可以得到4位素数的如下结果。
| 数字d | M(4, d) | N(4, d) | S(4, d) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 13 | 67061 |
| 1 | 3 | 9 | 22275 |
| 2 | 3 | 1 | 2221 |
| 3 | 3 | 12 | 46214 |
| 4 | 3 | 2 | 8888 |
| 5 | 3 | 1 | 5557 |
| 6 | 3 | 1 | 6661 |
| 7 | 3 | 9 | 57863 |
| 8 | 3 | 1 | 8887 |
| 9 | 3 | 7 | 48073 |
对于d = 0至9，所有S(4, d)的和为273700。
求所有S(10, d)的和。
112 弹跳数
从左往右，如果每一位数字都大于等于其左边的数字，这样的数被称为上升数，比如134468。
同样地，如果每一位数字都大于等于其右边的数字，这样的数被称为下降数，比如66420。
如果一个正整数既不是上升数也不是下降数，我们就称之为“弹跳”数，比如155349。
显然不存在小于一百的弹跳数，而在小于一千的数中有略超过一半（525）的弹跳数。事实上，使得弹跳数的比例恰好达到50%的最小数是538。
令人惊奇的是，弹跳数将变得越来越普遍，到21780时，弹跳数的比例恰好等于90%。
找出使得弹跳数的比例恰好为99%的最小数。
113 非弹跳数
从左往右，如果每一位数字都大于等于其左边的数字，这样的数被称为上升数，比如134468。
同样地，如果每一位数字都大于等于其右边的数字，这样的数被称为下降数，比如66420。
如果一个正整数既不是上升数也不是下降数，我们就称之为“弹跳”数，比如155349。
随着n的增长，小于n的弹跳数的比例也随之增长；在小于一百万的数中，只有12951个非弹跳数，而小于$10^{10}$的数中只有277032个非弹跳数。
在小于一古戈尔（$10^{100}$）的数中有多少个非弹跳数？
130 满足素数循环单位数性质的合数
只包含数字1的数被称为循环单位数，我们定义R(k)是长为k的循环单位数，例如，R(6) = 111111。
如果n是一个整数，且GCD(n, 10) = 1，可以验证总存在k使得R(k)能够被n整除，并且记A(n)是这些k中最小的一个。例如，A(7) = 6，而A(41) = 5。
已知对于素数p > 5，p − 1能够被A(p)整除。例如，当p = 41时，A(41) = 5，而40能够被5整除。
然而，有很少的一部分合数也满足这条性质，前5个这样的数分别是91，259，451，481以及703。
找出前25个合数n满足 GCD(n, 10) = 1且n − 1能够被A(n)整除，并求它们的和。
132 大循环单位数的因数
只包含数字1的数被称为循环单位数，我们定义R(k)是长为k的循环单位数。
例如，R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091，这些质因数的和是9414。
找出R(10^9)的前40个质因数的和。
134 质数对连接
考虑连续的质数p_1 = 19和p_2 = 23。可以验证，1219是所有以$p_1$结尾并且能被$p_2$整除的数中最小的一个。
事实上，除了p_1 = 3和p_2 = 5这一对之外，对于任意一对连续质数p_2 > $p_1$，都存在一系列的数n，其尾数是$p_1$，且能够被$p_2$整除。记S是所有的n中的最小值。
对于5 ≤ p1 ≤ 1000000内的所有连续质数对，求∑ S。
138 特殊等腰三角形
考虑底为b = 16，腰为L = 17的等腰三角形。
使用毕达哥拉斯定理，我们可以求出三角形的高是h = \sqrt{17^2-8^2} = 15，恰好比底长小1。
当b = 272而L = 305时，可以算出h = 273，恰好比底长大1，而且这是满足性质h = b ± 1的三角形中第二小的。
对于最小的12个满足h = b ± 1且b，L均为正整数的等腰三角形，求∑ L。